// On-Senin, 07 November 2016
1.
Konsep
fungsi
Fungsi
atau Pemetaan merupakan Relasi dari himpunan A ke himpunan B disebut fungsi
atau pemetaan, jika dan hanya jika tiap unsur dalam himpunan A berpasangan
tepat hanya dengan sebuah unsur dalam himpunan B.f adalah suatu fungsi dari
himpunan A ke himpunan B, maka fungsi f dilambangkan dengan f : A à B
Operasi
dalam Fungsi :
n Penjumlahan : (f+g)(x) = f(x) + g(x)
n Pengurangan : (f-g)(x) = f(x) – g(x)
n Perkalian : (f.g)(x) = f(x) . g(x)
n Pembagian : (f/g)(x) = f(x) / g(x)
—
—
—
—
|
—
—
—
y
= f(x)
|
(ditunjukkan dalam gambar disamping)
A B
f : x à y = f (x) |
y = f (x) : rumus untuk fungsi f
x disebut variabel bebas
y disebut variabel tak bebas
Contoh :
Diketahi f : A à B dan dinyatakan oleh rumus f (x) = 2x – 1.
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
Jika daerah asal A ditetapkan A : {x | 0 £ x £ 4. x Î R}
a. Tentukan f (0), f (1), f (2), f (3) dan f (4).
b. Tentukan daerah hasil dari fungsi f.
Jawab :
a. f (x) = 2x – 1, maka :
f (0) = -1
f (1) = 1
f (2) = 3
f (3) = 5
f (4) = 7
b. Daerah hasil fungsi f è Rf = {y | -1 £ y £ 7, y Î R}
Jika daerah asal dari suatu fungsi f tidak atau belum ditentukan, maka dapat diambil daerah asalnya himpunan dari semua bilangan real yang mungkin, sehingga daerah hasilnya merupakan bilangan real. Daerah asal yang ditentukan dengan cara seperti itu disebut daerah asal alami (natural domain).
Contoh :
Tentukan daerah asal alami dari fungsi berikut :
1. f (x) =
Jawab :
f (x) = , supaya f (x) bernilai real maka x + 1 ¹ 0 atau x ¹ -1
Jadi Df : {x | x Î R, dan x ¹ -1}
2. g (x) =
Jawab :
g (x) = , supaya g (x) bernilai real maka :
4 – x2 ³ 0
x2 – 4 £ 0
(x-2) (x+2) £ 0 è -2 £ x £ 2
Jadi Dg = {x | -2 £ x £ 2, x Î R}
2.
Pengertian
fungsi komposisi
Merupakan
penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan
sebuah fungsi baru. Penggabungan tersebut disebut komposisi
fungsi dan hasilnya disebut fungsi komposisi Operasi komposisi dilambangkan dengan o
(dibaca : komposisi atau bundaran).
Misalkan: f : A ® B dan g : B ® C
Fungsi
baru h = (g o f) : A ® C disebut fungsi komposisi dari f dan
g.
Ditulis:
h(x) = (gof)(x) = g(f(x))
(gof)(x) = g(f(x)) ada
hanya jika Rf ∩ Dg ≠ Ø
Adapun Nilai fungsi komposisi (gof)(x)
untuk x = a adalah (gof)(a) = g(f(a)).
n
Notasi
: (f o g)(a) = f(g(a)) à fungsi yang memetakan nilai dari g(a)
ke f
Contoh :
1. Diketahui
fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut
f = {(0,1),
(2,4), (3,-1),(4,5)} dan g = {(2,0), (1,2), (5,3), (6,7)}
Tentukanlah: a)
(f o g) b) (g o f) c) (f o g)(1) d) (g o f)(4)
Jawab:
a) (f o g) =
{(2,1), (1,4), (5,-1)} b) (g o f) =
{(0,1), (4,3)}
c) (f o g)(1) =
4 d) (g o
f)(4)
Contoh
2. Diketahui
f : R
® R ;
f(x) = 2x² +1, g : R ® R ;
g(x) = x + 3
(f o g)(x) = f(g(x))
= f(x+3) = 2(x+3)²+1 = 2(x² + 6x + 9) + 1 = 2x²+12x+19
Jawab:
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x²+1) = 2x² + 1 + 3 = 2x² + 4
(f o g)(1) =
f(g(1)) = f(4) = 2. (4)² +1 = 2.16 + 1 = 33
(g o f)(1) =
g(f(1)) = g(3) = 3 + 3 = 6
3. Contoh
:
Diketahui A = {x
l x < -1}, B dan C adalah himpunan bilangan real.
f : A → B dengan f(x) =
-x + 1; g : B → C dengan g(x) = x2 dan
h = g o f : A → C. Bila x di A
dipetakan ke 64 di C, tentukan nilai x!
Jawab:
h(x) = (g o f)(x) = g(f(x)) = g(-x + 1) = (-x + 1)2
h(x) = 64 → (-x + 1)2 =
64 ↔ -x +
1 = ± 8
-x + 1 = 8 ↔ x = -7 atau –x
+ 1 = -8 ↔ x =
9
Karena A = {x l
x < -1}, maka nilai x yang memenuhi adalah x = -7.
Contoh
4.
Ditentukan
g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120 maka nilai p = … .
Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x
+ 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x +
120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 240 + p
3p – p = 240 – 120
2p = 120 ® p = 60
3.
Sifat-sifat Komposisi Fungsi
Jika f : A ® B ; g : B ® C ; h : C ® D, maka
berlaku:
i. (fog)(x)
≠ (g o f)(x)
(tidak komutatif)
ii. ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x) (sifat asosiatif)
iii. (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x) (elemen identitas)
perhatikan
contoh soal :
1. Diketahui sebuah f(x) = 2x + 1, g(x) = 3 – x, dan h(x) = x2 +
2, I(x) = x
Maka nilai
(f
o g)(x) = f(g(x)) = f(3-x) = 2(3-x) + 1 = 6 – 2x + 1 = 7 – 2x
(g o
f)(x) = g(f(x)) = g(2x+1) = 3 – (2x+1) = 3 – 2x – 1 = 2 – 2x
(g o
h)(x) = g(h(x)) = g(x2 + 2)
= 3 – (x2 + 2) = 1 - x2
Dari hasil di atas tampak bahwa (fog)(x) ≠ (g o
f)(x)
Kemudian
nilai
((fog)oh)(x)
= (fog)(h(x))= (fog)( x2 + 2)= 7 – 2(x2 + 2) = 3 - 2x2
(fo(goh))(x)=f((goh)(x))=
f(1 - x2)= 2(1 - x2) + 1 = 2 – 2 x2 + 1 = 3 – 2
x2
Dari
hasil di atas tampak bahwa ((fog)oh)(x) =
(fo(goh))(x)
Begitu juga
(foI)(x)
= f(I(x)) = f(x) = 2x + 1
(Iof)(x)
= I(f(x)) = I(2x+1) = 2x + 1
Dari hasil di atas tampak bahwa (foI)(x) = (Iof)(x) = f(x)
Sehingga perhatikan contoh soal berikut:
1. diketahui f
: R → R dan g : R → R dengan f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2
+ 5
Tentukan:
a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
jawab:
f(x) =
3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a.
(g o
f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2
+ 5
= 2(9x2 – 6x + 1) + 5
= 18x2 –
12x + 2 + 5
= 18x2 –
12x + 7
b.
f o
g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x) tidak bersifat komutatif
4. Konsep Fungsi Invers
Ø Definisi
Jika fungsi f : A ® B dinyatakan dengan pasangan terurut f:{(a,b)laÎA dan
bÎB}, maka invers dari
fungsi f adalah f-1: B ®
A ditentukan oleh: f-1:{(b,a)lbÎB dan aÎA}.
Jika f : A ® B, maka f mempunyai fungsi invers f-1 : B
® A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi
1-1.
Jika f : y = f(x) ® f -1 :
x = f(y)
Maka (f o f -1)(x) = (f-1
o f)(x) = I(x) (fungsi identitas)
Ø Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers
i.
f(x) =
ax + b; a ≠ 0 ® f -1(x) =
; a ≠ 0
ii.
f(x) =
; x ≠ -
® f -1(x) =
; x ≠
iii.
f(x) = acx
; a > 0 ®
f -1(x) = alog x1/c =
alog x ; c ≠ 0
iv.
f(x) = a log cx ; a > 0; cx > 0 ® f -1(x) =
; c ≠ 0
v.
f(x) = ax²+bx+c; a≠0 ®
f -1(x)=
ingat :
Fungsi kuadrat secara umum tidak
mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi.
Contoh
1. Diketahui
f: R ® R dengan f(x) = 2x - 5. Tentukan f -1
(x)!
Cara 1:
Cara 1:
y = 2x - 5 (yang berarti x = f -1(y))
2x = y + 5
2x = y + 5
x =
f -1(x) =
f -1(x) =
Cara 2:
f(x) = ax + b ® f -1(x) =
f(x) = 2x – 5 ® f -1(x) =
Contoh
2.
Diketahui
Tentukan
!
Cara 1:
y(x - 4) = 2x
+ 1
yx – 4y = 2x +
1
yx – 2x = 4y +
1
x(y – 2) = 4y
+ 1
x =
f -1(x)
=
Cara 2:
f(x) =
®
f -1(x) =
®
f -1(x) =
Contoh:
3. Jika
dan
. Tentukan nilai k!
Cara
1:
y(3x - 4) = 2x
3xy – 4y = 2x
3xy – 2x = 4y
x(3y – 2) = 4y
x =
f -1(x)
=
f -1(k)
=
1 =
3k – 2 = 4k
k = -2
Cara 2:
f -1(k) = a ® k = f(a)
® k = f(1) =
Contoh
4.
Diketahui f(x) = 52x, tentukan f – 1 (x)!
Cara 1:
y = 52x
(ingat rumus logaritma: a n = b ® n =
)
2x =
x =
f – 1 (x)
=
Cara 2:
f(x)
= acx ® f -1(x) =
alog x
f(x)
= 52x ® f – 1 (x)
=
Contoh :
5.
Diketahui f(x) = x2 – 6x + 4, tentukan f–1
(x)!
Cara 1:
y = x2
– 6x + 4
y – 4 = x2
– 6x
y – 4 = (x – 3)
2 – 9
y + 5 = (x – 3)
2
x – 3 = ±
x = 3 ±
f – 1 (x)
= 3 ±
Cara 2:
f(x)
= ax²+bx+c ® f -1(x) =
f(x)
= x2 – 6x + 4 ®
f -1(x) =
Contoh
6. Diketahui
, tentukan f –
1 (x)!
Cara 1:
y – 2 =
(y – 2)5 = 1 – x3
x3 = 1 - (y – 2)5
x =
f – 1 (x) =
Cara 2:
® f – 1 (x) =
® f – 1 (x) =
5.
Aplikasi fungsi komposisi
Ø Menentukan
Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui
Misalkan fungsi komposisi (f o g)(x)
atau (g o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi f(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi g(x). Demikian pula jika fungsi komposisi (f o g)(x) atau (g
o f)(x) diketahui dan sebuah fungsi g(x) juga diketahui, maka kita bisa
menentukan fungsi f(x).
Contoh
:
1. Diketahui g(x) = 3 – 2x dan (g o f)(x)
= 2x2 + 2x – 12, tentukan rumus fungsi f(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) = 2x2
+ 2x – 12
g(f(x))
= 2x2 + 2x – 12
3
– 2f(x) = 2x2 + 2x – 12
-2f(x)
= 2x2 + 2x – 15
f(x) = -x2 – x + 7,5
Cara 2:
g(x) = 3 – 2x ® g -1(x)
=
f(x) = [g -1 o (g o f)](x)
f(x) =
Contoh :
2.
Diketahui f(x) = 2x -1 dan (g o f)(x) =
, tentukan rumus fungsi g(x)!
Cara 1:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
Misalkan: 2x –
1 = a ® x =
g(a) =
g(a) =
=
g(x) =
Cara 2:
(g o f)(x) =
g(f(x)) =
g(2x-1) =
g(2x-1) =
g(x) =
Cara 3:
f(x) = 2x
-1 ® f -1(x)
=
g(x) = [(g o f) o f -1](x) = (g o
f)( f -1(x))
g(x) =
3. Diketahui f(x) = 2x + 5dan (f o g)(x) =
3x2 – 1, Tentukan g(x).
Jawab
f(x) = 2x + 5 dan
(fog)(x) = 3x2 - 1
f[g(x)] =
3x2 - 1
2.g(x) + 5 = 3x2 - 1
2.g(x) = 3x2 - 1 - 5 = 3x2 - 6
Jadi g(x) = 1/2 (3x2 - 6)
Latihan
Soal:
1.
Diketahui f(x) = 2x + 5 dan
g(x) =
, maka (fog)(x)?
2. Diketahui
fungsi-fungsi f : R ® R didefinisikan dengan f(x) = 3x
– 5, g : R ® R didefinisikan
dengan g(x) =
. Hasil dari fungsi
(f
g)(x)?
3. Fungsi f dan g adalah pemetaan dari R
ke R yang dirumuskan oleh f(x) = 3x + 5 dan g(x) =
. Rumus (gof)(x)?
4. Diketahui
f : R à R
didefinisikan dengan f(x) = 3x –
5, g
: R à R didefinisikan dengan
. Hasil dari fungsi (gof)(x)?
5. Jika f(x) =
dan (f
g)(x) = 2
, maka fungsi g adalah g(x)?
6. Diketahui fungsi f(x) =
, dan g(x) = x2 + x + 1. Nilai komposisi
fungsi (g o f)(2) adalah
7. Suatu pemetaan f : R ® R, g : R ® R dengan (q o f)(x) = 2x2 + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3, maka
f(x)?
8. Fungsi f : R ® R didefinisikan dengan
f(x) =
. Invers dari f(x)
adalah f – 1 (x)
