// On-Senin, 07 November 2016
PERTIDAKSAMAAN
1.
Definisi Pertidaksamaan
Sebuah Pertidaksamaan adalah pernyataan bahwa dua kuantitas tidak setara
nilainya. Salah satu pernyataan matematika yang mengandung satu peubah atau
lebih yang dihubungkan oleh tanda-tanda ketidaksamaan, yaitu: <, >, ≤,
atau ≥.
2.
Sifat-sifat pertidaksamaan antara lain:
(i)
Jika a
> b dan b > c, maka a > c
(ii)
(ii)
Jika a > b, maka a + c > b + c
(iii)
(iii) Jika a > b, maka a - c > b – c
(iv)
(iv)
Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc
(v)
(v)
Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc
Dengan mengganti tanda > pada
sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat yang analog
sebagai berikut :
(vi)
Jika a < b dan b < c, maka a < c
(vii)
Jika a < b, maka a + c < b + c
(viii)
Jika a < b, maka a - c < b – c
(ix)
Jika a < b dan c adalah bilangan positif,
maka ac < bc
(x)
Jika a < b dan c adalah bilangan negatif,
maka ac > bc
(xi)
xi) ac > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xii)
(xii) ac < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xiii)
(xiii) a/c > 0 jika a > 0 dan c > 0 atau
jika a < 0 dan c < 0
(xiv)
(xiv) a/c < 0 jika a < 0 dan c > 0 atau
jika a > 0 dan c < 0
(xv)
(xv) Jika a > b, maka –a < -b
(xvi)
(xvi) Jika 1/a < 1/b, maka a > b
(xvii)
(xvii)
Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit)
(xviii)
(xviii)
Jika a > b > c, maka b < a atau b > c ( bentuk komposit)
3.
Jenis pertidaksamaan
Jenis pertidaksamaan anatara laian :
a.
Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
b.
Pertidaksamaan
kuadrat
c.
Pertidaksamaan
bentuk pecahan
d.
Pertidaksamaan
bentuk nilai mutlak ( modus)
a. Peridaksamaan
linear (PANGKAT SATU)
Pertidaksamaan linear adalah
pertidaksamaan yang salah satu atau kedua ruasnya mengandung bentuk linier
dalam x. yang vareabelnya berderajat satu dengan menggunakan
tanda hubung “lebih besar dari” atau “kurang dari”
Sifat-sifatnya :
·
Kedua
ruas dapat di tambah atau di kurangi dengan bilangan yang sama.
·
Kedua
ruas dapat dapat dikali atau di bagi dengan bilangan positip yang sama.
·
Kedua
ruas dapat di bagi atau di kali dengan bilangan negatip yang sama maka
penyelesaiannya tidak berubah asal saja arah dari tanda pertidaksamaan di balik
Langkah – langkah menyelesaikan
pertidaksamaan linier :
1.
Pindahkan semua yang mengandung variabel ke ruas kiri,
sedangkan yang tidak mengandung variabel ke ruas kanan.
2.
Kemudian sederhanakan
Perhatikan contoh soal berikut:
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 5x – 5 < 7x + 3 !
Jawab
5x – 5 < 7x + 3
5x
– 7x < 3 + 5
- 2x < 8
x > - 4
2.
Tentukan
nilai x yang memenuhi
pertidaksamaan 2(x-3) < 4x+8 ?
Jawab
Penyelesaian
2(x-3) < 4x+8
2x - 6 < 4x+8
2x – 4x< 6+8
-2x < 14
X > -7
3.
Tentukan nilai x
yang memenuhi pertidaksamaan 2x -
Jawab
Penyelesaian
2x –
8x-2 3x+8
8x-3x 8+2
5x 10
x 2
b. Pertidaksamaan
Kuadrat
Pertidaksamaan
kuadrat adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Bentuk umum peridaksamaan kuadrat
adalah ax² + bx + c > 0 dengan a, b, c konstanta; a
0.
Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat anatara
lain:
•
Jadikan
ruas kanan = 0
•
Jadikan
koefisien x² positif (untuk memudahkan pemfaktoran)
•
Uraikan
ruas kiri atas faktor-faktor linier.
•
Tetapkan
nilai-nilai nolnya
•
Tetapkan
tanda-tanda pada garis bilangan
•
Jawaban
didapatkan dari hal-hal yang ditanyakan dan terlukiskan pada garis bilangan
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
(bila ditanyakan > 0, maka yang dimaksud adalah daerah +,
bila ditanyakan < 0, maka yang dimaksud adalah daerah -).
¨ Langkah-langkah:
¤ Tentukan batas-batasnya dengan mengubah
ke dalam persamaan kuadrat
¤ Buatlah garis bilangan dan masukkan
batas yang diperoleh (jika ada) dengan batas yang kecil di sebelah kiri
¤ Uji titik pada masing-masing daerah
¤ Tentukan HP nya
Contoh soal
1.
Contoh 1 Tentukan
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
Jawab
( x – 2 ) ( x – 5 ) < 0
x = 2 atau x = 5 ( pembuat nol )
|
-
|
|
+
|
|
+
|
|
5
|
|
2
|
jadi Hp =
2.
Tentukan HP dari x2 – 2x – 8 ≥ 0
Jawab :
Batas : x2 – 2x – 8 = 0
(x - 4)(x + 2) = 0
x = 4 atau x = -2
+++ - - - - - +++
-2 4
Karena yang diminta ≥ 0 maka yang
memenuhi adalah yang bertanda positip Sehingga HP nya adalah {x | x ≤ -2 atau x
≥ 4}
c. Pertidaksamaan
bentuk pecahan
pertidaksamaan dalam x yang penyebutnya
mengandung variabel x.
Langkah – langkah
menyelesaikan pertidaksamaan pecahan :
·
Pindahkan
semua bilangan keruas kiri, jadikan ruas kanan = 0
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
(ingat! tidak diperkenankan mengali silang, karena tanda pertidaksamaan tidak dapat ditentukan berubah/tidak)
·
Sederhanakan ruas kiri.
·
Ubah bentuk
menjadi a.b
·
Tentukan pembuat nol ruas kiri.
·
Tuliskan nilai – nilai tersebut pada garis bilangan.
·
Berikan tanda pada setiap interval.
·
Samakan
penyebutnya sehingga pecahan dapat disederhanakan.
·
Selanjutnya,
sama seperti penyelesaian pertidaksamaan kuadrat. Syarat: penyebut pecahan
0
Perhatikan
Contoh soal :
1.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
Jawab
|
I syarat :
X – 1
X
1
|
II.
X = -8 atau x =
1 ( pembuat nol )
|
Jadi Hp =
d. Pertidaksamaan
Nilai Mutlak
Merupakan pertidaksamaan dimana
variabelnya berada di dalam tanda mutlak. Indikator : Menentukan penyelesaian
pertidaksamaan linear yang memuat nilai mutlak
Cara mencari
penyelesaian pertidaksamaan nilai
mutlak adalah dengan menggunakan sifat berikut ini :
·
·
·
Perhatikan contoh
berikut:
Contoh 1 Tentukan himpunan penyelesaian dari
pertidaksamaan
!
Jawab
3x + 2 < -
5 atau 3x + 2 > 5
3x < - 7 3x > 3
x < -7/3 x > 1
Latihan
Soal.
1.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3 + 6x
> 3x – 9?
2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3(2 -
3x) > -5x + 8 !
3.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
4.
himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan ( x + 5 ) x
2 ( x2
+2 ) !
5.
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan
!
6.
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
!
